Методи математичної фізики

Анотація

Спеціалізація: 104 Фізика та астрономія

Однією з основних задач навчання студентів є розвиток уявлень про те, що для характеристики різних явищ і процесів, що відбуваються в природі та техніці, необхідно все ширше й повніше використовувати математичні методи, і тому перед студентами настійно ставиться задача оволодіння відповідним математичним апаратом.

Теорія функцій комплексної змінної, як вступна частина курсу «Методи математичної фізики», здійснює перехід до комплексного аналізу, який дає можливість глибше вивчити елементарні функції та встановити цікаві зв'язки між ними. У комплексному аналізі, на відміну від дійсного, вдається з'ясувати природу багатозначності й побудувати бездоганну теорію багатозначних функцій. Комплексний аналіз дає ефективні методи обчислення інтегралів й отримання асимптотичних оцінок, методи дослідження диференціальних рівнянь і т.д.

Структура курсу «Методи математичної фізики» відповідає двом основним завданням математичної фізики. Перше завдання полягає в наступному. Задано правило визначення фізичної величини, яка цікавить нас, в будь-якій точці простору, тобто задано поле; потрібно встановити характер цього поля, тобто швидкість зміни від точки до точки. Для вивчення диференціальних властивостей різних полів залучається математична теорія поля. Друге завдання полягає в знаходженні деякої фізичної величини, тобто у визначенні конкретного виду математичного поля, якщо відомі умови, в яких знаходиться матеріальний об'єкт або протікає фізичний процес.

Для вивчення методів складання і, головне, інтегрування рівнянь, які визначають відповідні шукані функції координат і часу, залучається теорія диференціальних рівнянь в частинних похідних. Сукупність теорії поля та теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних утворює так звану класичну математичну фізику.

У запропонованому курсі міститься також і викладення теорії лінійних операторів, що становлять основу математичного апарату квантової механіки. Курс «Методи математичної фізики» розглядається також як аналітична база для розв’язання різних задач теоретичної фізики за допомогою персональних комп'ютерів.

В результаті вивчення дисципліни студент повинен:

• Знати основні поняття, визначення теорії функцій комплексної змінної, властивості аналітичних функцій, конформні відображення; теоретичні засади, основні поняття, закони і моделі математичної фізики, взаємозв'язок між ними, основні математичні методи; обмеження досліджуваних математичних моделей; основні диференціальні рівняння математичної фізики і методи їх розв’язання; алгоритми розв’язання основних задач курсу; характеристики й властивості досліджуваних в курсі об'єктів, підходи до вивчення рівнянь математичної фізики, що лежать в основі побудови ефективних аналітико-чисельних методів розв'язання задач, принципи вибору методів і засобів вивчення математичної моделі.
• Вміти розкладати в ряд Лорана аналітичні функції, досліджувати функцію комплексної змінної на диференційовність й аналітичність, обчислювати інтеграли від функцій комплексної змінної; ставити крайові задачі; застосовувати методи математичної фізики до вивчення основних фізичних процесів; застосовувати методи теорії лінійних операторів в задачах, що відносяться до власних значень і власних функцій; класифікувати диференціальні рівняння в частинних похідних 2-го порядку, складати математичні моделі фізичних процесів; застосовувати методи математичної фізики до дослідження математичної моделі та оцінки її адекватності, самостійно побудувати ймовірнісну модель задачі й обрати оптимальний метод розв’язання; обґрунтувати вибір методу розв'язання прикладної задачі та змістовно інтерпретувати результати.
• Володіти основними методами дослідження і розв’язання лінійних і нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних й інтегральних рівнянь, способами розв’язання крайових задач математичної фізики, зокрема, методом розділення змінних, приводити рівняння математичної фізики до канонічного вигляду; досвідом використання математичної символіки, використання моделей з урахуванням їх ієрархічної структури й оцінкою меж застосовності отриманих результатів; аналітичного та чисельного розв’язання основних рівнянь математичної фізики.

Зміст дисципліни

Теорія функцій комплексної змінної:

• Комплексні числа. Алгебраїчні операції з комплексними числами. Різні форми (записи) комплексного числа. Інтерпретації комплексного числа, позначення його на комплексній площині.
• Показникова форма комплексного числа. Корінь з комплексного числа.
• Послідовності комплексних чисел. Числові ряди комплексних чисел.
• Елементарні функції (показникова, тригонометрична, гіперболічна).
• Логарифмічна функція, її властивості і парадокс Бернуллі. Обернені тригонометричні та гіперболічні функції, їх властивості.
• Границя функції. Неперервність функції на множині.
• Інтегрування комплексної функції вздовж кривої.
• Диференційованість функції комплексної змінної. Спряжені гармонічні функції. Відновлення диференційованої функції по заданій дійсній або уявній частинам.
• Геометричний зміст похідної. Поняття про конформні відображення.
• Інтегральна теорема Коші. Інтегральна формула Коші.
• Інтеграл типу Коші. Первісна комплексної функції. Теорема Морера.
• Ряди регулярних функцій. Рівномірна збіжність. Степеневі ряди. Ряд Тейлора, та методи розвинення в степеневі ряди.
• Теорема єдиності. Нулі регулярної функції. Аналітичне продовження.
• Класифікація ізольованих особливих точок однозначного характеру. Ряд Лорана, різні можливості розвинення в ряд Лорана.
• Лишки у скінченій точці та у нескінченості.
• Теорема про лишки. Обчислення контурних інтегралів. Обчислення означених інтегралів.
• Невласні інтеграли. Принцип аргументу. Теорема Руше. Основна теорема алгебри.

Функціональні аналіз:

• Лінійні простори. Метричні простори.
• Евклідів простір .
• Простір Лебега . Близькість елементів в і збіжність у середньому.
• Нормовані й банахові простори.
• Скалярний добуток. Ортогональні системи й ортогональні розвинення.
• Ряди Фур'є. Інтегрування рядів Фур'є.
• Лінійні оператори й функціонали
• Ермітові оператори. Завдання на власні функції й власні значення.
• Функціонали.
• Задача Штурма-Ліувілля. Властивості регулярної задачі Штурма-Ліувілля.
• Простір Лебега з вагою
• Приведення диференціальних рівнянь до канонічного виду.

Основні теми ММФ:

• Лінійні рівняння із частками похідними першого порядку. Однорідні рівняння з постійними й змінними коефіцієнтами.
• Квазілінійні рівняння. Розриви розв'язків квазілінійних рівнянь. Загальний підхід.
• Одномірне хвильове рівняння. Рівняння струни.
• Одномірне хвильове рівняння. Принцип Дюамеля.
• Одномірне хвильове рівняння. Відбиття хвиль.
• Одномірне хвильове рівняння. Умова вільного кінця.
• Одномірне хвильове рівняння. Умови узгодження.
• Формула Гріна, формула Гаусса – Остроградского.
• Рівняння мембрани.
• Рівняння електростатичного поля (гравітаційного поля).
• Формула Пуассона для тривимірного хвильового рівняння.
• Формула запізнілих потенціалів.
• Формула Кірхгофа.
• Метод спуска. Формула Пуассона для двовимірного хвильового рівняння.
• Завдання Коші на похилій прямій для хвильового рівняння. Завдання Гурса.
• Рівняння теплопровідності.
• Метод Фур'є для одномірного хвильового рівняння.
• Метод Фур'є для одномірного рівняння теплопровідності.
• Рівняння Пуассона як рівняння для стаціонарного розв'язку динамічних рівнянь.

Загальна характеристика

Напрям підготовки: 104 Фізика та астрономія

Рік підготовки: 2-й

Семестр: 3-й, 4-й

Кількість кредитів: 8

Загальна кількість годин: 240 год.

Лекції: 50 год.

Практичні, семінарські заняття: 52 год.

Лабораторні заняття: 0 год.

Самостійна робота:  138 год.

Вид контролю: залік, іспит

Матеріали для завантаження

Робоча програма: завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ

Лекції з ММФ, ч. 1: завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ

Лекції з ММФ, ч. 2: завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ

Лекції з ММФ, ч. 3: завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ

Посібник до самостійної роботи студентів з ТФКЗ: завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ

Перелік теоретичних питань до іспиту з ММФ: завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ

Приклади контрольної роботи з ММФ №1 (ТФКЗ): завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ

Приклади контрольної роботи з ММФ №2: завантажити з сайту | з репозиторію ДНУ